Thoạt nhìn, Tập hợp Mandelbrot giống một sinh vật kỳ dị, một hòn đảo giữa biển màu hoặc thậm chí một cái cây đang vươn vô tận. Nhưng phía sau những hình ảnh đẹp mắt ấy chỉ là một quy tắc toán học rất đơn giản: bắt đầu với số phức \(z=0\), rồi lặp đi lặp lại phép tính \(z_{n+1}=z_n^2+c\). Những giá trị \(c\) khiến chuỗi này không chạy ra vô hạn sẽ thuộc Tập hợp Mandelbrot.
Ảnh: orbismediologicus.wordpress
Điều kỳ lạ xuất hiện khi người ta phóng to hình ảnh. Từ phần biên của “cái cây” lớn lại mọc ra những cành nhỏ, rồi trên các cành ấy xuất hiện những cấu trúc còn nhỏ hơn. Phóng đại tiếp, ta lại nhìn thấy các hình dạng tương tự. Tập hợp Mandelbrot vì thế trở thành một trong những ví dụ nổi tiếng nhất về fractal, tức những cấu trúc có tính tự tương đồng ở nhiều cấp độ.
Ảnh: sciencefocus
Nhưng đây không phải sự lặp lại hoàn toàn giống nhau. Những “cành cây” nhỏ có thể biến đổi thành các xoắn ốc, tua rua, bóng tròn và những cấu trúc trông giống sinh vật biển. Một số vùng còn được đặt những cái tên rất giàu trí tưởng tượng như “thung lũng cá ngựa” vì các đường cong tại đó gợi nhớ đến đuôi cá ngựa.
Càng phóng đại, thế giới Mandelbrot càng trở nên khó tin. Có những vùng tưởng như chỉ là một đường viền mảnh nhưng lại chứa vô số cấu trúc phức tạp. Một số hình ảnh hiện đại được tính toán ở độ phân giải khổng lồ, cho phép con người tiếp tục khám phá các chi tiết sâu hơn rất nhiều lần so với hình ảnh ban đầu. Wikimedia Commons hiện lưu trữ cả những bản dựng Mandelbrot có độ phân giải lên tới hàng chục nghìn pixel.
Ảnh: reistlin
Benoît Mandelbrot, nhà toán học người Mỹ gốc Ba Lan, là người có công lớn trong việc nghiên cứu và phổ biến đối tượng này từ năm 1980. Điều thú vị là bản thân Mandelbrot không phải một “bức tranh” được vẽ ra theo ý muốn. Nó là bản đồ của hành vi toán học: mỗi điểm trên mặt phẳng phức tương ứng với một giá trị \(c\), và màu sắc thường biểu diễn tốc độ một quỹ đạo thoát ra vô hạn.
Vì thế, gọi nó là một “cây” chỉ là cách con người cảm nhận hình dạng. Về bản chất, đây là một thế giới toán học không có điểm cuối rõ ràng: càng đi sâu, càng xuất hiện thêm những nhánh mới. Một công thức nhỏ bé có thể chứa đựng một cảnh quan phức tạp đến mức dường như vô tận.
